Колективна онлайн медитация за прочистване на енергийното поле около България
(Всеки Понеделник, Сряда и Неделя от 22:00ч.)


          

Страници: [1]   Надолу
Сподели тази тема във Facebook Сподели тази тема във Facebook
Автор Тема: Фракталите  (Прочетена 3084 пъти)
Kery
Гост
« -: Юли 27, 2010, 23:09:02 »

Що е то фрактал?
Фракталът е обект с доста сложна форма, получен в резултат на прост итерационен цикъл. Итерационността и рекурсивността определят такива свойства на фракталите, както самоподобие - отделните части приличат на целия фрактал.
Фракталите са геометрични обекти с дробна размерност. Например, размерността на линия е 1, на площта – 2, на обема – 3. При фрактала това значение на размерността може да бъде между 1 и 2 или между 2 и 3. В математиката съществува специална сложна формула за изчисление размерността на фракталите.



Разклонената система от тръбички на трахеите, листата на дърветата, вените на ръцете, реките - това са фрактали. Както е казано по-горе, фракталът е геометрична фигура, определена част от която се повторя отново и отново, изменяйки се по размери. Фракталите са подобни сами на себе си, те са подобни сами на себе си на всички нива (т.е. във всеки мащаб). Съществуват много различни типове фрактали. По принцип, може да се каже, че всичко, което съществува в реалния свят е фрактал, било то облак или молекула кислород.

Доколко е хаотичен хаоса?

 Динамичният (детерминираният) хаос и фракталите са понятия, навлезли в науката съвсем отскоро, едва в последната четвърт на ХХ век. Изследванията, свързани с фракталите и детерминирания хаос, променят много от представите с които сме свикнали за окръжаващия ни свят. При това не за света на микрообектите, където човешкото око е безсилно без специална техника, и не за явленията с космически мащаб, а за най-обикновени предмети: облаци, реки, дървета, планини, треви. Фракталите ни карат да преразгледаме нашите възгледи за геометричните свойства на природните и изкуствените обекти, а динамичния хаос внася радикални изменения в разбирането за това, как тези обекти могат да се държат във времето.

Фракталите винаги се асоциират с думата хаос, като частички от хаоса... Фракталите имат понякога хаотично поведение, благодарение на което те изглеждат разбъркани и случайни.

Когато чуят "хаос" повечето хора разбират нещо объркано и непредсказуемо. Но въобще не е така. Доколко е хаотичен хаоса? Същността е в това, че хаосът, в действителност, е достатъчно подреден и се подчинява на определени закони. Проблемът се състои в това, че намирането на тези закони може да бъде много сложно. Целта на изучаването на хаоса и фракталите е да се предскаже закономерността в системите, които може само да изглеждат непредсказуеми и абсолютно хаотични.
Такива системи могат да бъдат облачните образувания, времето, бурното движение на водата, миграцията на животните, и множество други аспекти от живота и природата. Така че, в края на краищата, може би, целия свят около нас е фрактален!

Геометрията на XXI век

За много учени, изследването на хаоса и фракталите не е просто нова област на познанието, която обединява математиката, теоретичната физика, изкуството и компютърните технологии. Това е революция. Тази нова геометрия може да опише света около нас и може да се види не само в учебниците, но и в природата и навсякъде в безграничната вселена.



Рaждaнетo (или възраждането) на фракталната геометрия става благодарение на математика от компанията на IBM Беноа Б. Манделброт(Benoit B. Mandelbrot), публикувал в 1977 "Фракталната геометрия на природата"(`The Fractal Geometry of Nature'). Той използвал научните резултати на други учени, работещи в периода 1875-1925 г. в тази област (Поанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, Пеано).В книгата, която произвела истински фурор, Манделброт обединава техните работи в единна система. По неговите думи: " ...между неконтролируемия хаос и строгия ред на Евклид вече има нова зона – тази на фракталния ред...".

Скритите измерения на фракталната размерност



Опитайте се да измерите с конец дължината на бреговата линия на Англия на атласа. След това направете същото с морска карта. Интересното е, че вторият път ще излезе доста повече. Ако после отидете в Англия и измерите бреговата й линия с дърводелски метър, тази дължина ще бъде още по-голяма. Продължавайте този процес дотогава, докато в ръцете ви не се се окаже чертожна линийка, с която можете да измерите бреговата линия частичка по частичка, атом след атом. Манделброт често използвал този пример твърдейки, че бреговата линия на Англия има безкрайна дължина.
Смисълът на този непрактичен експеримент се състои в това, че разстоянията трябва да бъдат съизмерими по мащаб, положение и детайли. По-късно Манделброт определил, че фракталната размерност на бреговата линии на Англия е 1.25.

В 300 г. до н. е. Евклид започнал Книга I с няколко определения, които били:

   1. Точка е това, което няма части.
   2. Линията е дължина без ширина.
   3. Повърхност е това, което има само дължина и ширина.

      В Книга XI, той добавил:
   4. Обемна фигура е това, което има дължина, ширина и височина.

Понятието размерност се подчертава в тези определения. Всеки знае, че точката има 0 размера, линията има размерност 1, квадратът е двумерен, а кубът - тримерен. Тази размерност се нарича топологична. Тя се е използвала в течение на хилядолетия, но се оказва неточна при изучаването на фракталите.

Една от идеите, възникнала от фракталната геометрия била идеята за нецелите значения за броя на измеренията в пространството. Манделброт нарекъл нецелите измерения такива като 2.76 фрактални измерения.

Разгледайте фрактала, наречен Крива на Пеано. При негово създаване е необходимо да се започне с отсечка и тя да се замени с тази фигура:

След това, всяка от отсечките се заменя със същата тази фигура, и повтаряйки този процес безкрайно, получаваме квадрат.







Усетихте ли какъв е проблема? Фракталът се състои от отсечки, на които топологичната размерност е 1. Това обаче е неточно, защото получената фигура - квадрат е с размерност 2.
Ние не можем да използваме топологичната размерност за фрактали, но в замяна трябва да се използва т.н. фрактална размерност. Въобще, формалното определение на фрактала е: това е фигура, чиято фрактална размерност е по-голяма от топологичната. Удивително е това, че фракталната размерност не трябва да е цяло число, а може да е дробна.
Както може да се види от таблицата, сложността на фигурата се увеличива с размерността.


Източник: http://elrid.cult.bg/f/fractals.htm
Със специални благодарности на авторката на сайта
« Последна редакция: Юли 27, 2010, 23:28:47 от Kery » Активен
Kery
Гост
« Отговор #1 -: Юли 27, 2010, 23:27:21 »

Самоподобие

Както видяхме от примера с Британското крайбрежие, много неща около нас изглеждат подобни независимо от това, колко ги увеличаваме. Вие можете да видите това в клоните на дърветата, планините, облаците, реките и фактически навсякъде в природата. Когато част от някоя фигура е подобна на цялата фигура, я наричаме това самоподобие. Самоподобието е характерно свойство на всички математически фрактали.

Точно самоподобие




Приблизително самоподобие

Понякога, фигурата не е толкова очевидно самоподобна и в този случай имаме приблизително самоподобие. Например, в известния фрактал на Манделброт не се виждат идентичните изображения. Обаче, когато започнете да увеличавате, ще се сблъскате с малки версии на фрактала на всички нива на увеличение. Показаните са пример за алгебрични фрактали.



Брауновото самоподобие

През 1828 г. Роберт Браун изучавайки движението на микроскопичните частици във водата, откил, че то е случайно и хаотично. Този тип движение, представлява аспект от фракталната геометрия и има огромно практично използване.

Ако начертаете положението на някаква частица през определени интервали от време, ще получите крива траектория с линии, разположени произволно в пространството.



Сега, вземете една от тези линии и начертайте положението на частицата през по-малки интервали от време. Ще получите малка начупена линия, състояща се от произволно разположени части.
Може да продължите и резултатът ще е все същия - това сигурно ви напомня за за самоподобието, но все пак случая не е същия. Макар че всяка линия е съставена от по-малки линии, линиите имат произволно разположение.

Фрактални клъстери или DLA (Diffusion-Limited Aggregation)

Друг пример на случаен фрактал, по-сложен, но също толкова распространен в природата като горния, се получава в т.н. процес " дифузно ограничена агрегация". Тя може да се моделира по следния начин:

Да си представим сфера (окръжност в двумерния случай) с достатъчно голям радиус, на повърхността на която от време на време на случайни места се появяват частици, които блуждаят вътре в сферата. В центъра й се намира т.н. "клъстер" (зародиш). При сблъсък с него блуждаещата частица "прилепва" към него и повече не се движи. После прилепва следващата частица и така до безкрайност.

В резултат се образува много пореста структура, в двумерния случай като картинката вдясно. С разрастването на структурата броя на порите и размерите им се увеличават. В двумерния случай фракталната размерност на такъв клъстер е около 1.7.



Такъв процес се нарича агрегация, а когато частиците се движат към разстящия клъстер в условията случайно движение — това всъщност е DLA. Този процес е крайно неустойчив. С негова помощ може лесно да се обяснят някои свойства на растеж на фракталните структури.

В природата подобни фрактални клъстери се стрещат много често. Така, например, растат коралите, мазолите, саждите, кристалите от наситен разтвор, снежинките.

Метод на подобието

Това е най-простия метод за изчисляване размерността на фрактал, който използва свойството самоподобие.


Например, да вземем отсечка с размерност 1. Ако я разгледаме с увеличение в 2 пъти, ще видим 2 идентични отсечки. Нека да използваме променливата D за размерност (означава степента на увеличение), и N за количеството идентични фигури.



Сега да вземем квадрат и триъгълник с размерност 2. С увеличение 2, получаваме 4 идентични фигури и в двата случая.



Сега да вземем куб с размерност 3. Отново го увеличаваме 2 пъти. Получаваме 8 идентични кубове. В тези три примери, се забелязва ясна закономерност.



Ако повдигнем увеличението на степен размерността, винаги ще получаваме количеството фигури:

eD = N

Така с помощта на тази формула можем да изчисляваме размерността D:

D = log N / log e

Използвайки тази формула, можем да изчислим фракталната размерност на някои фрактали. Например Кривата Пеано, ще видим, че в началната фигура има идентични отсечки (N = 9). Всяка от тях е 1/3 от началната отсечка, така че увеличението е 3 (e = 3). Използвайки формулата, намираме, че
D = log 9 / log 3 = 2.
Крайната фигура е квадрат.



Сега да вземем друг фрактал, кривата на Кох. В него се виждат четири идентични снежинки (N = 4). Всяка от тях е 1/3 от всяка фигура, така че e = 3.



За изчисление на фракталната размерност: D = log 4 / log 3 = 1.26. Размерността е дроб, нещо неприсъщо за стандартната геометрия Евклид.

Геометричен метод

Методът на подобие за изчисление на фракталната размерност е много ефективен, ако имаме работа с фрактали съставени от определено количество идентични версии на самите себе си. Но опитайте да го приложите за крайбережието на Англия. Това е невъзможно, защото там всички линии имат различни размери и изискват различни увеличения.

Има прост изход от това. Знаем, че истинският фрактал има безкрайно количество детайли. Това означава, при неговото увеличение се добавят допълнителни детайли, които се прибавят към размера. В нефракталните фигури, обаче, размерът никога не се изменя.

Например, нека да разгледаме схемата вдясно, където има графика на размерите на някои нефрактали под различно увеличение. Ако направите графика на логаритъма на размера върху логаритъма на увеличението, ще се получат хоризонтални прави. Това показва, че размерите не се изменят, което значи, че фигурите - не са фрактали.



Сега да вземем някои фрактали и да направим същото. Сега няма да получим хоризонтални прави, тъй като с увеличението размерите растат. Това доказва, че фигурите са фрактали



Сега можем лесно да изчислим фракталните размерности използвайки наклоните на правите. С простата формула:

фрактална размерност = наклон + 1

Геометричният метод може много ефективно да се използва за природни начупени форми с Брауново самоподобие. Използват го за да се изчисляват размерността на крайбрежията, границите и облацитe.

Метод броене на клетки

Методът на подобие и геометричният метод за изчисляване на фракталната размерност изискват измерване на размера. За много фрактали това не само е сложно, но и почти невъзможно. Обърнете внимание на фрактала вдясно.



Вместо това, можем да използваме по-прост метод. Да поместим фрактала на лист карирана хартия, като страната на всеки квадрат има размер h. Нека преброим клетките, които не са празни. Броя им означаваме с променливата N. Намаляването на рармера на квадратчетата прави сметката по-точна, което е равносилно на увеличение. Фактически увеличението e равно на 1/h. В раздела за метода на подобието за изчисляване на фракталната размерност употребихме формулата D = log N / log e. Сега можем да я заменим с:

D = log N / log (1/h)

Намалявайки h ще определим размерността все по-точно. За 3-мерни фрактали ще се използват кубове вместо квадрати, а за едномерните - отсечки.



В първия случай 5 клетки не са празни. Във втория - 25. В първия случай:
D = log 5 / log (1/ (1/3)) = 1.46.
Във втория случай отговора е същия, което означава, че изчислената размерност е точна.    

Този метод е много ефективен за природни форми, които е сложно да се измерят, особено култури бактерии.

Въведение в понятието "итерация"

Във всеки фрактал има безкрайно повторяща се форма. При създаване такъв фрактал, естествено е, че най-простия начин се състои в това, да се повторят няколкото действия, които създават тази форма. Вместо думата "повторение" използваме математическия синоним "итерация".

Фактически всеки фрактал може да бъде създаден с итерации на някакво правило. Например, правилото за създаване на Снежинката на Кох е:


след I-вата итерация

след IV-тата итерация

За да се създаде истински фрактал, трябва да се извърши итерацията безкрайно количество пъти. Но при изпълнението му на компютър, ние сме ограничени от скоростта и количесвото точки, затова итерациите се изпълняват определено количество пъти. Увеличението на броя на итерациите прави фракталите по-точни.

Съществуват три основни вида итерации:

1. Заместваща итерация — Създава фрактали, заменяйки едни геометрични фигури с други.
2. Итерация ИФС — Създава фрактали, прилагайки геометрични преобразования (тип завъртане и отражение).
3. Итерация с формули — включва няколко начина за създаване на фрактали, повторяйки някаква математическа формула или няколко формули.

Съществуват също няколко не основни видове итерации. Например, фрактали може да се създават, повтаряйки процес на сгъване на хартия. Обаче същите тези фрактали могат да се образуват и с някои от изброените стандартни методи

Заместваща итерация

Започваме с фигура, наречена основа. След това всяка част от основата заместваме с друга фигура, наречена мотив. Извършваме това заместване безкрайно количество пъти, докато завършим фрактала.

Например, да опитаме да направим фрактал с тази основа и мотив:



Започвайки с триъгълник, заменяме всяка негова страна с мотива:



Отново заменяме всяка от 12-те отсечки с мотива и продолжаваме процеса. Макрая получаваме фрактал, наречен Снежинката на Кох



С различни основи, мотиви и начини на заместване на мотивите могат да се получат много разнообразне фрактали. Заместващата итерация се прилага в създаването на реалистични модели на икономиката.

L-системи

Заместващата итерация е много проста. Но за компютър, не е достатъчно да имаш изображението на основата и мотива. Необходим е начин за съхранение на данните за фракталите, който да не се изразходва много памет и позволява да създават прости алгоритми за изчертаване на фрактали. Най-добрия подобен начин са L-системите. Разработени са от А. Линденмайер ("L" в думата "L-система" ). Те са съставени от определяне на ъгъла, аксиома и поне едно правило. Аксиома наричаме началната форма (основа), която ще се използва в процеса на създаване на фрактала. Правилата указват, какви символи в аксиомата трябва да бъдат заменени с други символи.



Например, Снежинката на Кох използва следната основа и мотив:



Използвайки L-система, можем да го запишем като:

Koch {                     ; L-системата започва с названието, следва скоба
Angle 60                   ; това е ъгъла, който подхожда на дадения фрактал

Axiom F - - F - - F     ; три страни с две завъртания по часовата стрелка на 120 градуса

F = F + F - - F + F     ; всяка страна се заменя с мотива (F +F- -F + F)
}                             ; скобата означава повторение
   
Болшинството фрактали с фрактална размерност от 0 до 2 могат да бъдат изразени, използвайки L-системи. Комбинация от няколко символа и правила могат да се създадат много сложни фрактали. Такива L-системи се използват, за да се създават реалистични модели на растения.

Системи Итерируеми Функции (Iterated Functions System - IFS)

FS (итеративни функционални системи) представят още един начин за създаване на фрактали. Този метод е основан на точка или фигура, която се заменя с няколко по-малки фигури.

Например, съществува много прост начин за изчертаване на Триъгълника на Сиерпински. Започвайки с триъгълник, заменяме го с три малки триъгълници:
Продължавайки този процес на итерация, ние заменяме всеки от тези три триъгълника с други триъгълници и продължаваме много пъти:




Замяната на една форма с друга форма се нарича геометрично преобразование. В горния пример има два вида преобразования: транслация (движение на триъгълниците) и изменение на размера на триъгълниците. Третият вид преобразование е въртенето. То може да се използва за създаване на фрактали, в които самоподобните части са разместени под различни ъгли. Например, за да се създаде реалистичен модел на дърво, има нужда от въртенето за клоните. Другите видове преобразования, тип огледално отражение и инверсия могат да се използват за създаване на огромно разнообразие от фрактали.

IFS значително облегчават алгоритмите за изчертаване на фракталите. За двумерни фрактали всичко, което трябва да сложите в паметта на компютъра, е списък с всички преобразования с 6 параметри за всяко:

X' = A*X + B*Y + C
Y' = D*X + E*Y + F

1. Хоризонтално движение
2. Вертикално движение
3. Въртене около вертикалната ос на изображението
4. Въртене около хоризонталната ос на изображението
5. Растеляне на вертикалната ос на изображението
6. Растеляне на хоризонталната ос на изображението

За 3-мерните фрактали са необходими допълнително още 3 параметра за третата ос. IFS могат да се използват за създаване на повечето фрактали, освен формулните фрактали. Ако желаете, тук може да научите как с помощта на IFS може да се построят някои фрактални структури.

Формулна итерация

Формулната итерация е най-простия вид итерация, но е най-важния и дава най-сложни резултати. Той е основан на използването на математически формули за постоянно изменение на числата.

Три вида фрактали могат да бъдат създадени, използвайки различни видове итерации на формулите:

    * Атрактори - започвайки с координатите на някаква точка, се определят координатите на всяка следваща точка като се изполва формула.
    * Фрактали Джулия - започнете с координатите на някаква точка. Оцветете я в зависимост от това, което се случва с нея след итерацията. Направете същото за всяка точка.
    * Фрактали Менделброт - започнете от точка (0, 0). Изполвайте формула, която изполва координатите на някаква друга точка като константа във формулата. Оцветете последната точка в зависимост от това, какво се случва с (0, 0) след итерацията. Направете същото за всяка точка.

Най-общо казано, изпълнението на формулната итерация променя някакво число. Това се използва, за да изучим явленията около нас, които влекат за себе си изменения, от типа на химическите реакции, измененията на популациите и времето. Много прости формули са способни да създадат някои от най-сложните фрактали.


Фракталът "Spider"


Източник: http://elrid.cult.bg/f/fractals.htm
Активен
Kery
Гост
« Отговор #2 -: Юли 27, 2010, 23:41:46 »

Системи Итерируеми Функции (Iterated Functions System - IFS)

IFS представлява система от някакъв фиксиран клас функции, преобразуващи едно многомерно множество в друго. Най-простата IFS се състои от афинни преобразователи на плоскост:

X' = A*X + B*Y + C
Y' = D*X + E*Y + F

През 1988 г. известните американски специалисти по теория на динамичните системи Барнсли и Слоан предложили някои идеи, основани на теорията на динамичните системи, за свиване(архивиране) и съхранение на графична информация. Те нарекли своя метод - метод на фракталното архивиране на информацията. Те създали алгоритъм, койтоще позволи да се свие информацията 500-1000 пъти. Накратко метод може да се опише така: Изображението се кодира с няколко прости преобразования (в нашия случай - афинни), т.е. с коефициентите на тези преобразования (в нашия случай A,B,C,D,E,F).

Например, закодирайки някакво изображение с две афинни преобразования, ние еднозначно го определяме с помощта на 12-ти коефициента. Ако се зададе някаква начална точка (например X=0 Y=0) и стартираме итерационния процес, то след първата итерация ще получим две точки, слеа втората - четири, след третата - осем и т.н. След няколко десетки итерации съвкупността от получените точки ще описва закодированото изображение. Но проблемът се състои в това, че е много трудно да се намерят коефициентите на IFS.

За построение IFS използват освен афинни и други класове прости геометрични преобразования, които се задават с няколко параметъра. Например, квадратичните преобразования на равнина:

X' = A1*X*X + B1*X*Y + C1*Y*Y + D1*X + E1*Y + F1
Y' = A2*X*X + B2*X*Y + C2*Y*Y + D2*X + E2*Y + F2

Като пример за използване на IFS за построяване на фрактални структури, да разгледаме няколко известни фрактални криви. Ще отделим в техните структури подобните части и, за всяка от тях ще изчислим коефициентите на афинно преобразование. В афинния колаж ще бъдат включени толкова афинни преобразования, колкото са частите, подобни на цялото изображение.

Дракон на Хартер-Хейтуел

Да построим IFS за "дракона" на Хартер-Хейтуел. За тази цел да разположим първото поколение на този фрактал в координатната мрежа на дисплея 640 x 350 . Да обозначим точките получената начупена линия A, B, C. По правилата за построение, този фрактал има две части, подобни на цялото - на схемата вдясно това са начупените линии ADB и BEC. Знаейки координатите на краищата на тези отсечки, може да се изчислят коефициентите на две афинни преобразования, превръщащи начупената линия ABC в ADB и BEC:

 X' = -0.5*X -0.5*Y + 490
Y' = 0.5*X -0.5*Y + 120

X' = 0.5*X -0.5*Y + 340
Y' = 0.5*X +0.5*Y - 110

Задавайки начална стартова точка (например X=0 Y=0) и въздействайки итерационно на нея с помощта на тази IFS, можем да проследим развитието на фракталната структура, така добре известна ни от книгата на Майкъл Крайтън "Юрски парк", или т.н. "дракон" на Хартер-Хейтуей. Неговия код (кратко описание) е набор от коефициенти на две афинни преобразования.





Геометрични фрактали

Геометричните фрактали са известни още с името детерминирани фрактали. Наричат ги още класически или линейни фрактали. Самоподобието е проявява на всички нива (мащаби).
Детерминираните фрактали се образуват в процеса "итерация"(повече информация - тук).

Тези фрактали са лесни за построяване. В двумерния случай се получават с помощта на някаква начупена линия (или повърхност в тримерния случай), наречена генератор. За всяка стъпка от алгоритъма всяка от отсечките, съставящи начупената линия, се заменя с генератора, в съответния мащаб. В резултат на безкрайни повторения (итерации) на тази процедура, се получава геометрическия фрактал. По-подробно е обяснено тук.

повече за геометричните фрактали: http://elrid.cult.bg/f/Pages/Geometr.php

Активен
Kery
Гост
« Отговор #3 -: Юли 28, 2010, 08:02:29 »

Рон Еглаш за африканските фрактали:
http://www.ted.com/talks/lang/bul/ron_eglash_on_african_fractals.html


http://www.youtube.com/watch?v=9RCqSuyd0HI


Лично аз фракталите ги свързвам с израза: "И Бог създаде човека по свой образ и подобие"

И вече дори научно е обяснено, че ние сме част от цялото, както цялото е част от нас. Ето защо променяйки себе си, променяме и всичко около нас Усмивчица

По-късно ще пусна още инфо
Активен
Страници: [1]   Нагоре
Отиди на:  


Бог е Любов и е в мен, аз съм Любовта и с Бога в едно цяло с вярата и упованието в Бога аз съм неговото най-достойно проявление, за което той ме обича и облича в ризница от Любов, която да ме пази и закриля от всякакви зли сили и вмешателства в живота ми и в мен самия! Амин
Ширинан | Психолог  © Copyright